Мога ли да изляза в неплатен отпуск 6 месеца?
Имам ли право и при какви условия?

Да, ако работодателят е съгласен

От фирмата ми обясниха, че ще ми се прекъсне стажа и трябвало да внеса някакви пари и било по-добре да напусна.
Не разбирам какви са тия пари и защо да ми се прекъсва стажа, като се водя на работа?

и защо да ми се прекъсва стажа, като се водя на работа?
най-вероятно, защото няма да работите, особено след 30-те работни дни неплатен отпуск/за година/, които са признати за трудов и осигурителен стаж.

в най-общия случай, става дума за здравните Ви осигуровки, а най-добре да напуснете - идея нямам защо.