При нас 1 служител е на длъжност "Директор...", сега обаче управата реши, че той ще е зам. директор? Практически възможно ли е така - да стане от по-висока на по-ниска длъжност? И трябва ли да правя доп. споразумение, да подавам уведомление до НАП?

Може.
Ако пусне молба, е по негово желание.
Без молба, но подписал доп.труд.споразумение - значи е съгласен с промяната.
Това са две различни длъжности, следователно се регистрират в НАП.

Практически всичко е възможно, дори да бъде преназначен на длъжност "общ работник". Но има едно условие - лицето да е съгласно да подпише допълнително споразумение към трудовия си договор за промяната на длъжността (и, може би, възнаграждението). А за промяна на длъжността уведомление по 62 (4) КТ трябва да се изпрати в 3-дневен срок от подписването.